Nếu là thi Vio thì chỉ điền đáp số

a) x =6.

b) x = 1; y = 4

Giải kiểu VIO ra đáp số khác với trình bày. 2 bài này đều nhẩm được.

a) Để PS đã cho >0 thì 5<x<7. x chỉ bằng 6 thay vào đúng. Ko cần tìm tiếp

b) Để mẫu chung bằng 4 thì y phải =4; => x = 1. Thỏa mãn.

Cách nhẩm tuy không chặt chẽ bằng bài giải chi tiết nhưng VIO thì rất hiệu quả. Mình trình bày cách nghĩ của mình mong các bạn góp ý.

1/ Ta có \(\frac{1}{3}< \frac{9}{x}< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{9}{27}< \frac{9}{x}< \frac{9}{18}\)

\(\Rightarrow27>x>18\)

Vì \(x\in Z\Rightarrow x\in\left\{19,20,...,26\right\}\)

Vậy....

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :

\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)

\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)

Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :

\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)

                                  \(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)

                                   \(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)

Tương tự , chứng minh đc :

\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)

          \(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)

           \(\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1

Ta có: \(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)

=> \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)=> \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\)(1)

Có: \(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\)=> \(\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\)(2)

Từ (1) ; (2) => \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)=> \(\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}=\frac{x^2+y^2+z^2}{36+81+100}=\frac{\frac{217}{4}}{217}=\frac{1}{4}\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{36}=\frac{1}{4}\\\frac{y^2}{81}=\frac{1}{4}\\\frac{z^2}{100}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x^2=9\\y^2=\frac{81}{4}\\z^2=25\end{cases}}\)

Vì x, y, z dương nên suy ra: \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=\frac{9}{2}\\z=5\end{cases}}\)

=> \(x+2y-2z=3+2.\frac{9}{2}-2.5=2\)

Ta có : \(\frac{x}{y}=\frac{2}{3};\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3};\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9};\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)

Đặt \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}=k\)(k>0)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6k\\y=9k\\z=10k\end{cases}}\)

Thay x=6k; y=9k; z=10k vào \(x^2+y^2+z^2=\frac{217}{4}\) ta có:

 \(\left(6k\right)^2+\left(9k\right)^2+\left(10k^2\right)=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow6^2.k^2+9^2.k^2+10^2.k^2=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2.\left(6^2+9^2+10^2\right)=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2.\left(36+81+100\right)=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2.217=\frac{217}{4}\)

\(\Rightarrow k^2=\frac{217}{4}.\frac{1}{217}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow k=\pm\frac{1}{2}\)

Mà k >0

 \(\Rightarrow k=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=6.\frac{1}{2}=3\\y=9.\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\\z=10.\frac{1}{2}=5\end{cases}}\)( thỏa mãn x;y dương)

\(\Rightarrow x+2y-2z=3+2.\frac{9}{2}-2.5=3+9-10=2\)

Vậy x+2y-2z=2

6) a) Vì tích của 3 số âm là số âm nên trong đó chắc chắn chứa ít nhất 1 số âm

Bỏ số âm đó ra ngoài. Còn lại 99 số . Chia 99 số thành 33 nhóm. Mỗi nhóm gồn 3 số 

=> kết quả mỗi nhóm là số âm

=> Tích của 99 số là tích của 33 số âm => kết quả là số âm

Nhân kết quả đó với số âm đã bỏ ra ngoài lúc đầu => ta được Tích của 100 số là số dương

Bạn nên đăng từng bài lên thôi.

2b,  

để (x-3 ) (x+7)  > 0

suy ra : ( x-3) >0       (x+7) > 0                                  hoặc           (x-3) <0            (x+7)  <0

TH1:    x-3  > 0           x+7 > 0                              TH2:        x-3 <0               x+7 < 0

          x     >  3           x     > -7                                            x    < 3               x   < -7

\(\Rightarrow\)   x > 3                                                              \(\Rightarrow\)       x    < -7

vậy  x> 3 và x< -7 thì (x-3)(x+7) > 0

Giờ bạn cần bài này nữa không 

1.   Đặt A = x²+y²+z²

             B = xy+yz+xz

             C = 1/x + 1/y + 1/z

Lại có (x+y+z)²=9

             A + 2B = 9

  Dễ chứng minh A>=B 

      Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)

Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1 

    C = (x+y+z) /3x  +  (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z

C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x) 

Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2

=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)

P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1

Vậy ...........

Câu 2 chưa ra thông cảm 

\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{y}{3.3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{2.3}=\frac{z}{5.2}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ 1 và 2

\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\)

Đặt \(\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}=k\)

=> x = 6k

y = 9k

z = 10k

Thay vào đẳng thức 3(đề cho) , ta có :

x² + y² + z² = \(\frac{217}{4}\)

=> (6k)² + (9k)² + (10k)² = \(\frac{217}{4}\)

=> 36k² + 81k² + 100k² = \(\frac{217}{4}\)

=> k²(36 + 81 + 100) = \(\frac{217}{4}\)

=> k² = \(\frac{217}{4}:217=\frac{217}{4}.\frac{1}{217}=\frac{1}{4}=0,25\)

Mà x , y , z dương

=> k chỉ có thể nhận giá trị dương vì 6 ; 9 ; 10 > 0

=> k = 0,25

=> x = 6. 0,25 = 1,5

y = 9. 0,25 = 2,25

z = 10. 0,25 = 2,5

=> x + 2y - 2z = 1,5 + 2. 2,25 - 2. 2,5

= 1,5 + 4,5 - 5

= 1

Ta có:\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}\left(1\right)\)

\(\frac{x}{3}=\frac{z}{5}\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{z}{10}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{x}{6}=\frac{y}{9}=\frac{z}{10}\Rightarrow\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x^2}{36}=\frac{y^2}{81}=\frac{z^2}{100}=\frac{x^2+y^2+z^2}{36+81+100}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}\cdot36=9\Rightarrow x=3\)(vì x là số dương)

\(\Rightarrow y^2=81\cdot\frac{1}{4}=20,25\Rightarrow y=4,5\text{(vì y là số dương)}\)

\(\Rightarrow z^2=\frac{1}{4}\cdot100=25\Rightarrow z=5\text{(vì z là số dương)}\)

\(\Rightarrow x+2y-2z=3+4,5\cdot2-5\cdot2=12-10=2\)

Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)

Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)

Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)

Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng

Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng

Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)